Vierkant piramidaal getal -

Square pyramidal number

De piramidale getallen waren een van de weinige soorten driedimensionale figuratieve getallen die in de Griekse wiskunde werden bestudeerd , in werken van Nicomachus , Theon van Smyrna en Iamblichus . Formules voor het optellen van opeenvolgende vierkanten om een ​​kubische veelterm te geven, waarvan de waarden de vierkante piramidale getallen zijn, zijn gegeven door Archimedes , die deze som als een lemma gebruikte als onderdeel van een studie van het volume van een kegel , en door Fibonacci , als onderdeel van een meer algemene oplossing voor het probleem van het vinden van formules voor sommen van progressies van kwadraten. De vierkante piramidale getallen waren ook een van de families van figuratieve getallen die werden bestudeerd door Japanse wiskundigen uit de wasan-periode, die ze "kirei saijo suida" noemden.

Hetzelfde probleem, geformuleerd als het tellen van de kanonskogels in een vierkante piramide, werd aan het eind van de 16e eeuw door Walter Raleigh aan de wiskundige Thomas Harriot gesteld , terwijl beiden op een zeereis waren. Het kanonskogelprobleem , de vraag of er vierkante piramidale getallen zijn die ook andere vierkante getallen zijn dan 1 en 4900, zou uit deze uitwisseling zijn voortgekomen. Édouard Lucas vond de piramide van 4900 ballen met een vierkant aantal ballen, en door het kanonskogelprobleem breder bekend te maken, suggereerde hij dat dit de enige niet-triviale oplossing was. Na onvolledige bewijzen door Lucas en Claude-Séraphin Moret-Blanc, werd het eerste volledige bewijs dat er geen andere dergelijke getallen bestaan, gegeven door GN Watson in 1918.

Media afspelen

Als bollen zijn verpakt in vierkante piramides waarvan het aantal lagen 1, 2, 3, enz. is, dan zijn de vierkante piramidale getallen die het aantal bollen in elke piramide geven:

Deze getallen kunnen als volgt algebraïsch worden berekend. Als een piramide van bollen wordt ontleed in zijn vierkante lagen met een vierkant aantal bollen in elk, dan kan het totale aantal bollen worden geteld als de som van het aantal bollen in elk vierkant,

${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$

en deze sommatie kan worden opgelost om een kubieke veelterm te geven , die op verschillende equivalente manieren kan worden geschreven:

$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

Deze vergelijking voor een kwadratensom is een speciaal geval van de formule van Faulhaber voor machtssommen en kan worden bewezen door wiskundige inductie .

( t + 1)( t + 2) (2 t + 3)

/

6

= P _{t + 1}

.

geometrische opsomming

Alle 30 vierkanten in een 4×4 raster

vierkant raster. Dit getal kan als volgt worden afgeleid:

• Het aantal
  1 × 1
  vierkanten in het rooster is
  n ²
  .
• Het aantal
  2 × 2
  vierkanten in het rooster is
  ( n − 1) ²
  . Deze kunnen worden geteld door alle mogelijke linkerbovenhoeken van
  2 × 2
  vierkanten te tellen.

Hieruit volgt dat het aantal vierkanten in een

n × n

vierkant rooster is:

$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}$$

Dat wil zeggen, de oplossing van de puzzel wordt gegeven door het . als equivalent wordt beschouwd, is het aantal matrices met niet-negatieve gehele coëfficiënten optellend tot , voor oneven waarden van , een vierkant piramidaal getal.

${\displaystyle P_{n}}$

Relaties met andere figuratieve getallen

Een vierkante piramide van kanonskogels bij Rye Castle in Engeland

4900 ballen gerangschikt als een vierkante piramide met zijde 24 en een vierkant met zijde 70

Het kanonskogelprobleem vraagt ​​om de afmetingen van piramides van kanonskogels die ook kunnen worden uitgespreid om een ​​vierkante reeks te vormen, of gelijkwaardig, welke getallen zowel vierkant als vierkant piramidaal zijn. Naast 1 is er maar één ander getal met deze eigenschap: 4900, wat zowel het 70e kwadraat is als het 24e kwadraat piramidale getal.

De vierkante piramidale getallen kunnen worden uitgedrukt als sommen van binomiale coëfficiënten :

$${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$$

De binominale coëfficiënten die in deze voorstelling voorkomen, zijn tetraëdrische getallen , en deze formule drukt een vierkant piramidaal getal uit als de som van twee tetraëdrische getallen op dezelfde manier als kwadraten de sommen zijn van twee opeenvolgende driehoeksgetallen . Als een tetraëder over een van zijn vlakken wordt gereflecteerd, vormen de twee kopieën een driehoekige bipyramide . De vierkante piramidale getallen zijn ook de figuurlijke getallen van de driehoekige bipiramidale getallen, en deze formule kan worden geïnterpreteerd als een gelijkheid tussen de vierkante piramidale getallen en de driehoekige bipiramidale getallen. Analoog, het reflecteren van een vierkante piramide over zijn basis produceert een octaëder, waaruit volgt dat elk octaëdrisch getal de som is van twee opeenvolgende vierkante piramidale getallen.

Vierkante piramidale getallen zijn ook op een andere manier gerelateerd aan tetraëdrische getallen: de punten van vier exemplaren van dezelfde vierkante piramide kunnen worden herschikt om een ​​enkele tetraëder te vormen met twee keer zoveel punten langs elke rand. Dat is,

$${\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

andere eigenschappen

, hoewel deze sneller convergeert. Het is:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\circa 0.849556.\ \\end{uitgelijnd}}}$$

In de benaderingstheorie vormen de rijen van oneven getallen, sommen van oneven getallen (vierkante getallen), sommen van kwadraten (vierkante piramidale getallen), enz., de coëfficiënten in een methode om Chebyshev-benaderingen om te zetten in veeltermen .

Referenties

Externe links

• Weisstein, Eric W. , "Vierkant piramidegetal" , MathWorld